第一章 绪论

Posted on Edited on In Views:

基本概念

  • 数据：数据是信息的载体，是描述客观事物属性的数、字符及所有能输入到计算机中并被计算机程序识别和处理的符号的集合。数据是计算机程序加工的原料。

  • 数据元素、数据项：数据元素是数据的基本单位，通常作为一个整体进行考虑和处理。一个数据元素可由若干数据项组成，数据项是构成数据元素的不可分割的最小单位。

  • 数据结构：相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。

  • 数据对象：具有相同性质的数据元素的集合，是数据的一个子集。

  • 数据类型：一个值的集合和定义在此集合上的一组操作的总称。

    • 原子类型。其值不可再分的数据类型。
    • 结构类型。其值可以再分解为若干成分（分量）的数据类型。

  • 抽象数据类型（Abstract Data Type, ADT）：抽象数据组织及与之相关的操作。

    • 原子类型。其值不可分解。
    • 固定聚合类型。其值由确定数目的成分按某种结构组成。
    • 可变聚合类型。其值的成分数目不确定。

  • 多形数据类型：其值的成分不确定的数据类型。

三要素

  • 逻辑结构
    • 集合：各个元素同属一个集合，别无其他关系。
    • 线性结构：数据元素之间是一对一的关系。除了第一个元素，所有元素都有唯一前驱，除了最后一个元素，所有元素都有唯一后继。
    • 树性结构：数据元素之间是一对多的关系。
    • 图状结构（网状结构）：数据元素之间是多对多的关系。
  • 物理结构（存储结构）
    • 顺序存储：把逻辑上相邻的元素存储在物理位置上也相邻的存储单元中，元素之间的关系由存储单元的邻接关系来体现。
      • 若采用顺序存储，则各个数据元素在物理上必须是连续的；若采用非顺序存储，则各个数据元素在物理上可以是离散的。
      • 数据的存储结构会影响存储空间分配的方便程度。
      • 数据的存储结构会影响对数据运算的速度。
    • 链式存储：逻辑上相邻的元素在物理位置上可以不相邻，借助指示元素存储地址的指针来表示元素之间的逻辑关系。
    • 索引存储：在存储元素信息的同时，还建立附加的索引表。索引表中的每项称为索引项，索引项的一般形式是（关键字，地址）。
    • 散列存储：根据元素的关键字直接计算出该元素的存储地址，又称哈希（Hash）存储。
  • 数据的运算
    • 施加在数据上的运算包括运算的定义和实现。
    • 运算的定义是针对逻辑结构的，指出运算的功能。
    • 运算的实现是针对存储结构的，指出运算的具体操作步骤。

算法的基本概念

  • 算法（Algorithm）是对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列，其中的每条指令表示一个或多个操作。
  • 算法的特性
    • 有穷性。一个算法必须总在执行有穷步后结束，且每一步都可在有穷时间内完成。
      • 算法必须是有穷的，而程序可以是无穷的。
    • 确定性。算法中每条指令必须有确切的含义，对于相同的输入只能得出相同的输出。
    • 可行性。算法中描述的操作都可以通过已经实现的基本运算执行有限次来实现。
    • 输入。一个算法有零个或多个输入，这些输入取自于某个特定的对象的集合。
    • 输出。一个算法有一个或多个输出，这些输出是与输入有某种特定关系的量。
  • “好”算法的特质：
    • 正确性。算法应能正确地求解问题。
    • 可读性。算法应具有良好的可读性，以帮助人们理解。
    • 健壮性。输入非法数据时，算法能适当地做出反应或进行处理，而不会产生莫名其妙的输出结果。
    • 高效率与低存储量需求。
      • 高效率：花的时间少。时间复杂度低。
      • 低存储量需求：不费内存。空间复杂度低。

算法效率的度量

算法的时间复杂度

  • 事先预估算法时间开销T(n)与问题规模n的关系（T表示”time”）。
  • 在T(n)中可以只考虑阶数高的部分。
  • 大O表示“同阶”，同等数量级。即：当n趋近于无穷大时，二者之比为常数。
  • 加法规则：T(n) = T1(n)+T2(n) = O(f(n)) + O(g(n)) = O(max(f(n), g(n)))
  • 乘法规则：T(n) = T1(n) * T2(n) = O(f(n)) * O(g(n)) = O(f(n) * g(n))
  • O(n) < O(log2n) < O(n) < O(nlog2n) <O(n^2^) < O(n^3^) < O(2^n^) < O(n!) < O(n^n^)
  • 顺序执行的代码只会影响常数项，可以忽略。只需挑循环中的一个基本操作分析它的执行次数与n的关系即可。如果有多层嵌套循环，只需关注最深层循环循环了几次。
  • 最坏时间复杂度：最坏情况下算法的时间复杂度。
  • 平均时间复杂度：所有输入示例等概率出现的情况下，算法的期望运行时间。
  • 最好时间复杂度：最好情况下算法的时间复杂度。（不常用）

算法的空间复杂度

  • 算法原地工作：算法所需的内存空间为常量。
  • 函数递归调用带来的内存开销：空间复杂度 = 递归调用的深度